A Teoria do Caos

Teoria do Caos

A Sua História

Quando foi o Caos descoberto pela primeira vez? O primeiro a lidar verdadeiramente com ele foi um meteorologista de nome Edward Lorenz em 1960 ao tentar trabalhar com o problema que existia em conseguir uma previsão aceitável para os fenómenos meteorológicos.

Nessa altura, as máquinas de computação eram bastante limitadas, mas mesmo assim, Lorenz fazendo uso do poder computacional que tinha à sua disposição, programou a sua máquina com um conjunto de doze equações matemáticas de modo a conseguir obter um modelo matemático que lhe permitisse prever o tempo. Na realidade, este modelo não previa o tempo, mas conseguia obter teoreticamente uma previsão daquilo que o tempo podia vir a ser.

Numa das ocasiões, em 1961, Lorenz pretendeu rever uma sequência que já tinha resolvido, e para poupar tempo, começou a meio da sequência ao invés de começar pelo princípio deixando-a correr sozinha. Passado uma hora, voltou para ver quais tinham sido os resultados obtidos até então, e para seu espanto, observou que a sequência tinha evoluído de uma maneira completamente diferente: ao contrário do padrão normal que tinha obtido anteriormente, desta vez ela tinha divergido desse mesmo padrão acabando de um modo completamente diferente do original.

Mais tarde, Lorenz acabou por perceber aquilo que tinha acontecido: a sua máquina armazenava em memória seis casas decimais sempre que executava um cálculo e para poupar papel ele tinha apenas apontado três casas decimais; na sequência original o número era 0.506127 e ele ao revê-la tinha apenas escrito 0.506.

Pelas ideias convencionais da altura, este erro deveria ter sido desprezável, e a sequência deveria ter resultado, originando um resultado bastante parecido ao obtido originalmente. Normalmente, nessa época, um cientista considerava os resultados válidos se estes fossem medidos com precisão até três casas decimais, seguramente a quarta e a quinta, impossíveis de medir através de métodos razoáveis, não poderiam ter um efeito assim tão grande no resultado final.

Lorenz, com esta descoberta, provou que isto era uma ideia errada, e este efeito acabou por ser conhecido pela famosa designação de Efeito Borboleta em que a quantidade de diferença que existe nos pontos iniciais das duas curvas é tão pequena que pode ser comparável a uma borboleta batendo as suas asas.

Hoje podemos afirmar que o bater das asas de apenas uma borboleta, produz uma diferença minúscula no estado da atmosfera. Esta, o que faz, após um determinado período de tempo, é divergir daquilo que supostamente deveria ter feito. Assim, num período de um mês, um tornado que deveria ter destruído a costa da Indonésia, acaba por não acontecer, ou então um que não deveria ter acontecido acaba por acontecer.

Este fenómeno, comum à Teoria do Caos, é conhecido por ser também sensível e dependente das condições iniciais do sistema: basta uma pequena alteração das condições iniciais para que o comportamento a longo prazo do sistema se altere radicalmente. Uma diferença tão pequena como esta nas medições, pode ser considerada como «barulho» experimental, «barulho» de fundo ou um erro do equipamento usado para a leitura. Tais coisas, são impossíveis de evitar mesmo no laboratório mais isolado e protegido. Com um número inicial de dois, o resultado final pode ser completamente diferente do mesmo obtido por um sistema que tenha começado com um valor inicial de 2.000001. É completamente impossível de obter este tipo de precisão (experimente-se medir qualquer coisa com este tipo de precisão!). A partir desta ideia, Lorenz formulou que era impossível de prever o tempo com precisão, no entanto, esta descoberta levou Lorenz a partir para outros aspectos que acabariam por ser conhecidos como a Teoria do Caos.

Lorenz começou por procurar um sistema que fosse sensível às condições iniciais, no seu desenvolvimento. A sua primeira descoberta tinha doze equações matemáticas e ele agora, pretendia um sistema que fosse bastante mais simples, mas que mantivesse os mesmos atributos do inicial. Para começar, pegou nas equações e tornou-as simples, quase de um modo completamente irrealista: o sistema, agora, já não tinha nada a ver com a simplificação feita mas mantinha a sua dependência nas condições iniciais, recorrendo apenas ao uso de três equações (mais tarde descobriu-se que estas equações descreviam precisamente o principio de funcionamento de uma roda de água).

Neste exemplo, a água no topo, escorre fluidamente e de um modo constante, para os recipientes que se encontram presos à roda. Cada recipiente, pinga de igual modo, fluido e constante, através de um pequeno furo. Se o fluxo de água for pequeno, os recipientes do topo nunca irão encher suficientemente rápido de modo a vencer a fricção, mas no entanto, se o fluxo for mais rápido o peso começa a fazer com que roda se mexa, podendo fazer com que a rotação da roda se torne contínua. Pode ainda acontecer, que se o fluxo for suficientemente rápido fazendo com que os recipientes pesados baloicem tudo à volta, em cima e em baixo, do outro lado, a roda poderá abrandar, acabando por parar e inverter o seu movimento, virando inicialmente para um lado e depois para o outro.

As equações para este sistema acabaram por fazer nascer um comportamento completamente aleatório. No entanto, quando Lorenz tentou criar um gráfico que descrevesse o sistema, aconteceu uma coisa surpreendente: o resultado obtido mantinha-se sempre numa curva: uma espiral dupla. Antes, existiam apenas dois tipos de ordem conhecidos: um estado estável, no qual as variáveis do sistema nunca se alteravam; e um estado periódico, no qual o sistema entrava num ciclo repetindo-se indefinidamente. As equações de Lorenz são definitivamente ordenadas, seguindo sempre uma espiral e nunca acabando num ponto isolado, mas uma vez que nunca se repetiam do mesmo modo, também não eram periódicas. Ele chamou à imagem que tinha obtido, de ‘Lorenz attractor’ (movimento de uma partícula em determinados sistemas, que não irá convergir para um estado estável nem irá divergir para o infinito, ficando num região caótica mas fechada). Em 1963, Lorenz publicou um ensaio descrevendo tudo aquilo que tinha descoberto: incluiu a imprevisibilidade do tempo e apresentou os tipos de equações que provocavam este tipo de comportamento. Infelizmente, o único jornal onde ele conseguiu publicar o seu trabalho, era um jornal de meteorologia, uma vez que ele era meteorologista e não um matemático ou um físico. Como resultado, as descobertas de Lorenz não foram reconhecidas senão anos mais tarde quando foram redescobertas por outros.

Lorenz tinha descoberto algo revolucionário, e teve de aguardar para que outros o descobrissem a ele também…

Exemplos da Vida Quotidiana

Máquinas de lavar Caóticas

Uma máquina de lavar caótica? Realmente parece mesmo uma ideia ridícula... No entanto, a Goldstar (actual LG), não pensou do mesmo modo, e em 1993 foi exactamente isso que criou. Foi a primeira empresa fabricando produtos de consumo, a explorar a Teoria do Caos, que defende existirem movimentos previsíveis e identificadores em sistemas não lineares. Esta máquina de lavar, supostamente apresentava a roupa que lavava, mais limpa e menos enrugada. A chave para o movimento caótico era um pequeno oscilador (que fazia perturbar a água) oscilando aleatoriamente à medida que o oscilador principal ía rodando.

Quando foi lançada no mercado mundial, as expectativas eram de que impulsionasse a quota dos 1.5 milhões de unidades anuais para 40% em 1993, comparando com 39% para a Samsung e 21% para a Daewoo (na altura, o maior rival da Goldstar). No entanto, o marketing é muito competitivo na Coreia do Sul e a Daewoo argumentou que a Goldstar não tinha sido a primeira a comercializar a Teoria do Caos, tendo sido criada uma unidade semelhante pela Daewoo em 1990 resultando da acção de ‘circuitos lógicos confusos’. Este tipo de circuitos realizavam escolhas entre 0 e 1 e entre verdadeiro e falso, estes factores controlavam a quantidade de bolhas, a turbulência da máquina e ainda a espuma da máquina.

O Caos nas Bolsas de Mercados

De acordo com as autoridades competentes, as bolsas de mercados são sistemas dinâmicos não lineares. A Teoria do Caos é a matemática que estuda este tipo de sistemas e determinou que os mercados de preços são altamente aleatórios, mas no entanto com uma tendência definida.

Esta tendência varia de mercado para mercado e de intervalo de tempo para intervalo de tempo. Um conceito envolvido em sistemas caóticos é o de fractais. Fractais são objectos que similares a eles mesmos, no sentido de as suas partes individuais estarem relacionados com o todo (um exemplo popular é uma árvore, à medida que os seus ramos vão ficando cada vez mais pequenos, cada um é similar em estrutura aos ramos maiores e à árvore como um todo). Similarmente, nos preços das acções em mercado, à medida que estes se vão seguindo mensalmente, semanalmente, diariamente e através de tabelas criadas várias vezes ao dia, a estrutura tem uma aparência semelhante, tal como em objectos naturais em que se vai vendo cada vez mais detalhe à medida que aproximamos a visão.

Outra característica dos mercados caóticos é a chamada dependência sensível às condições iniciais, e isto é o que torna os sistemas dinâmicos de mercado tão difíceis de prever, já que nunca podemos descrever com precisão a situação corrente uma vez que os erros na descrição são difíceis de encontrar devido à complexidade total do sistema, tornando-se assim impossível de realizar previsões certas. Mesmo que pudéssemos prever com sucesso as alterações do mercado de amanhã (o que não podemos) teríamos sempre uma taxa de sucesso nula ao tentar prever nem que fossem vinte dias no futuro.

Um certo número de negociantes e especialistas sugeriram que as transacções feitas com base nas tabelas retiradas cada 5m são transacções de ruído, logo fazendo-os gastar o seu tempo já que à medida que o tempo avança, estão condenadas a falhar pelos custos das transacções. Ao mesmo tempo, estes especialistas dizem que os preços obtidos a longo prazo, não são aleatórios, logo os negociantes podem ter sucesso a partir das tabelas diárias ou semanais se seguirem as tendências do mercado.

A questão naturalmente que se levanta é de que maneira é que os dados a curto prazo podem ser aleatórios e os dados a longo prazo não serem no mesmo mercado. Se os dados a curto prazo se acumularem para formar os dados a longo prazo, não teriam estes de serem assim também eles aleatórios? Aparentemente, este tipo de paradoxo existe: um sistema pode ser aleatório a curto prazo e determinista a longo prazo.

A Linha Costeira do Reino Unido

Há muito tempo atrás, o «Deus» dos fractais, Benoit Mandelbrot colocou uma questão muito simples: qual é o comprimento da linha costeira do Reino Unido?

Os seus colegas matemáticos ficaram estarrecidos perante tal desperdício inútil de tempo em questões tão frívolas como aquela, assim simplesmente disseram-lhe, que procurasse.

Mandelbrot, tinha como é óbvio uma razão válida para esta questão tão peculiar, razão essa, única. Experimente-se procurar a resposta para tal questão, seja em que enciclopédia for, e qualquer uma das respostas dadas, é incorrecta, ou seja, muito simplesmente, a linha costeira do Reino Unido é infinita.

Obviamente que de imediato podemos protestar contra tal resposta, afirmando que tal é impossível. No entanto, considere-se isto: olhar para o Reino Unido num mapa com uma escala muito grande, de seguida, desenhar uma forma bidimensional o mais simples possível (um triângulo) de modo a que a mesma circunscreva ao máximo o Reino Unido, por fim, o perímetro desta forma dará aproximadamente o valor do perímetro do Reino Unido.

Contudo, este valor, é obviamente altamente impreciso. Se aumentarmos o número de vértices da forma desenhada, a área tornar-se-á mais aproximada, ou seja, quantos mais vértices temos, mais a área desenhada conseguirá circunscrever a linha costeira em todos os seus pormenores.

Existe no entanto um problema, cada vez que o número de vértices aumenta, o perímetro aumenta também, devido à desigualdade do triângulo o número de vértices nunca atingirá um máximo. Não existe um ponto ao qual podemos afirmar que a forma desenhada define a linha costeira do Reino Unido, já que para tal teríamos que considerar cada rocha, cada pormenor que encontrássemos nas fronteiras do Reino Unido.

Assim, a linha costeira do Reino Unido é infinita.

Previsões Meteorológicas de Grande Alcance

Actualmente, esta é uma previsão que faz parte de qualquer serviço informativo actual, com previsões na ordem dos quatro dias de avanço, e por vezes estas previsões são correctas. Mas e quanto a previsões à escala de uma semana ou a um mês de avanço? Obviamente que foi um problema que os investigadores da Teoria do Caos abordaram e as suas conclusões não serão de melhor uso, caso se queira escolher um bom dia de praia, daqui a três meses!...

Existem muitas variáveis associadas ao tempo: temperatura, pressão do ar, velocidade do vento, humidade e por ai fora. As equações que controlam o tempo, envolvem todas estas variáveis e podemos até colocá-las certeiramente e calcular com um certo grau de incerteza qual será o valor destas variáveis todas no próximo segundo.

Estas respostas podem ser depois introduzidas de novo e assim calcular o segundo seguinte, e caso queiramos, podemos deixar o computador a correr estes valores até obtermos os valores para o mês seguinte. Ou será que não?

Recordam-se de Lorenz e das suas experiências iniciais? Ele também tentou deixar o seu computador correr o tempo suficiente para que o mesmo lhe fornecesse as respostas que ele procurava, para tal introduziu os valores que a máquina lhe ia dando e fazia com que a mesma voltasse a correr de novo o ciclo. Depressa vimos que estes valores se desviavam do ciclo anterior (na altura, recorde-se, observamos que a razão disso era a quantidade de casas decimais colocadas por Lorenz) assim, a diferença de um em mil, é suficiente para modificar completamente os resultados. Não podemos medir com precisão o valor destas variáveis sem evitar o efeito do caos.

Por 10 anos consecutivos, os resultados de Lorenz foram ignorados, apesar de ele próprio saber que a sua descoberta era crucial.

Câmara de Gás

Construa-se um sistema simples: uma caixa, simples sólida e rectangular, no interior da mesma coloque-se uma substância gasosa (um gás qualquer). Aqueça-se a caixa, observando o que acontece.

Que acontece com o gás? Normalmente sabemos que os gases aquecidos sobem enquanto que os arrefecidos descem (lembrem-se do principio básico de um balão) e na nossa experiência, as porções do gás que se encontram de encontro às paredes da caixa, de facto aquecem e sobem. Ao atingir determinadas temperaturas, o gás começará a formar rolos cilíndricos espaçados como se de rolos de gelatina fossem, colocados ao comprimento da caixa. Num dos lados da caixa, o gás sobe, no outro, desce; os gases que sobem deslocam-se para um dos lados da caixa levando com eles os gases aquecidos; à medida que o gás arrefece, este, cai no lado oposto da caixa. Aplicando uma temperatura constante a um interior regular da caixa e a um sistema completamente fechado em relação ao gás em si, poderemos esperar que o movimento circular do gás em movimento seja regular numa direcção. No entanto, aparentemente de um modo aleatório, o gás reverte a sua direcção. Estas mudanças acontecem em intervalos de tempo completamente imprevisíveis e a velocidades também elas imprevisíveis.

O Caos no Sistema Solar

A teoria do Caos não é nenhuma novidade para os astrónomos, a grande maioria sabe que o sistema solar não se comporta com a «precisão de um relógio suíço». Os astrónomos revelaram certas instabilidades que ocorrem no sistema solar, nos movimentos da lua de Saturno Hyperion

Nos intervalos do cinto de asteróides que se encontra entre Marte e Júpiter e até nas órbitas dos próprios planetas.

Usada pelos astrónomos, a palavra caos denota a alteração repentina das propriedades da órbita de um objecto, objecto esse que agindo assim, pode por exemplo ter uma excentricidade orbital que varie ciclicamente dentro de certos limites temporais (por exemplo alguns milhares de anos, ou milhões mesmo) fazendo assim com que o seu padrão de comportamento mude.

O resultado prático é uma quebra no historial do objecto, quebra essa que irá tornar inútil todo o seu comportamento anterior deixando deste modo de termos dados para prever o seu comportamento futuro.

O exemplo disto é algo que já falei antes, de novo o Problema dos N-Corpos.

Fractais

O universo à nossa volta, não é como vimos linear, mas sim de natureza fractal, ou seja, vemos o mesmo padrão aparecer vezes sem conta independentemente da escala com que olhamos para ele.

Olhe-se por exemplo para um rio e todos os seus afluentes, todos eles são eles próprios rios contendo os seus próprios afluentes, mais pequenos, até que chegamos a um simples riacho. O padrão das linhas costeiras, dos ramos de uma árvore…

Os fractais, foram como já dissemos descobertos pelo matemático Benoit Mandelbrot e dentro deles temos alguns tipos a considerar.

O mais simples, o floco de Koch, descoberto pelo senhor Niels Fabian Helge von Koch em 1904.

Consegue-se bastando para isso pegar num triângulo equilátero e dentro do mesmo adicionar um outro triângulo mais pequeno, mas igual, no meio de cada um dos três lados, repetindo até ao infinito, obtemos então o padrão de Koch.

Dentro do mesmo tipo de padrão, temos a considerar também o triângulo de Sierpinski, descoberto por Waclaw Franciszek Sierpinski em 1915,

originalmente construído como uma curva. Para obter o seu triângulo basta iniciar com o desenho de um triângulo, de seguida encolher o mesmo na proporção de ½, fazendo duas cópias e colocando os três triângulos de modo a que cada um deles toque o outro num canto. Por fim basta repetir de novo este procedimento em cada um dos novos triângulos mais pequenos.

Por fim, vem o conjunto de Mandelbrot, o fractal clássico, que continua indefinidamente a voltar para ele próprio, de modo que cada passo emprega como um dos seus próprios parâmetros o resultado anterior.

No final, obtemos algumas das imagens mais espantosas que podemos criar através do uso da matemática, do caos e de um computador…

A Matemática e a Ordem no Caos? Considerações Finais

A natureza sempre evoluiu de um modo caótico e o mundo matemático tem sido sempre incrivelmente complexo, assim porque é que a Teoria do Caos se transformou numa parte tão importante da ciência, matemática, arte e informática?

A resposta é muito simples: os computadores. Os cálculos envolvidos são repetitivos, maçadores e o seu número é na ordem dos milhões. De modo a produzir um conjunto de Mandelbrot num ecrã simples é necessária uma estimativa de 6 milhões de cálculos.

Nenhum ser humano seria tão estúpido que aguentasse tal operação. Os computadores são particularmente bons em operações repetitivas, e não podemos realmente explorar o caos sem o uso deles, e definitivamente não podemos produzir fractais sem a ajuda deles.

Ao brincar com a matemática, a ciência e a programação informática, conseguimos produzir imagens que são parecidas com a natureza: nuvens, montanhas, bactérias, etc. Elas indicaram porque é que não conseguimos prever o tempo, aparentaram igualar o comportamento das bolsas de mercados, das populações e das reacções químicas, tudo ao mesmo tempo.

As suas investigações sugeriram respostas para perguntas que tinham vindo a ser colocadas à séculos – acerca do fluxo dos fluidos à medida que estes passavam de um fluxo constante para um irregular, acerca da formação dos flocos de neve, acerca do balancear de um pêndulo, acerca das marés e da frequência cardíaca e até de formações rochosas.

Esta nova teoria lida com um vasto domínio de campos intelectuais, e daqui iniciou-se a produção dos fractais, alguns tentaram imitar a Natureza, outros são simplesmente lindos, e alguns são simplesmente fascinantes.

Os sistemas caóticos não são aleatórios, aparentam ser, mas têm no entanto algumas características simples definidoras:

1. Os sistemas caóticos são deterministas, isto significa que têm algo a determinar o seu comportamento.

2. Os sistemas caóticos são muito sensíveis às condições iniciais, uma pequena mudança no seu ponto de partida poderá levar a um final tremendamente diferente, tornando assim o sistema relativamente imprevisível.

3. Os sistemas caóticos aparentam ser desordenados, até mesmo aleatórios, mas no entanto não o são: por debaixo do comportamento aleatório está um conjunto de ordem e padrões, os sistemas verdadeiramente aleatórios não são caóticos e os sistemas ordenados previstos pela física clássica são a excepção.

Existe uma ligação muito forte entre o caos e os fractais. A geometria fractal é a geometria que descreve os sistemas caóticos que encontramos na Natureza. Os fractais são uma linguagem e uma maneira de descrever a geometria (a geometria euclidiana clássica é uma descrição de linhas, círculos, triângulos, e por aí fora) e esta é descrita através de algoritmos (um conjunto de instruções que explicam como criar um fractal). Os computadores traduzem por fim, essas instruções em padrões magníficos que nós vimos como imagens fractais.

Por fim, o caos é ordem, é a linguagem final que a Natureza usa para que tudo aconteça, do simples ao complexo.

Bibliografia Usada, hiperligações de interesse e vídeos

“Deep Simplicity – Chaos, Complexity and the Emergence of Life”, John Gribbin, Random House, 2005 (Amazon EUA)

“Deep Simplicity – Chaos, Complexity and the Emergence of Life”, John Gribbin, Penguin Books, 2004 (Fnac Portugal)

http://portal.brint.com/cgi-bin/cgsearch/cgsearch.cgi?query=chaos+theory – Portal de Busca

Caos ou Ordem?

A Realidade como Arte?...

Será o caos, anarquia, ou a existência de ordem? Será o caos uma «verdade» absoluta, ou uma ordem que simplesmente segue a desordem?...

Ou será apenas mais uma forma de arte, para alguns?... Questões pertinentes, às quais procuro resposta, e que tentarei expor aqui, de um modo sucinto...

Como se diría na TV, não percam as cenas dos próximos episódios!...